IDENTIFIKASI BASIS GRÖBNER DALAM IDEAL RING POLINOMIAL

Abstract

Dalam suatu ring atau lapangan, dapat didefinisikan suatu polinomial yang koefisien-koefisiennya merupakan elemen dari ring atau lapangan tersebut. 𝑅[𝑋] dan 𝐹[𝑋] merupakan suatu ring yang disebut ring polinomial. Misalkan 𝐼=〈𝑓1,𝑓2,…𝑓𝑠〉⊆𝐹[𝑋], dengan 𝑓𝑖≠0 untuk setiap 𝑖={1,2,3,…,𝑠}. Suatu polinomial 𝑓∈𝐹[𝑋] merupakan elemen di 𝐼 jika 𝑓 dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari 𝑓𝑖 yaitu 𝑓𝑖=𝑞1𝑓1+𝑞2𝑓2+⋯+𝑞𝑠𝑓𝑠dengan 𝑞𝑖∈𝐹[𝑋]. Untuk mengubah 𝑓 menjadi kombinasi linier, maka dapat digunakan algoritma pembagian polinomial bervariabel banyak tetapi dengan syarat sisa pembagian adalah nol. Pada polinomial bervariabel banyak, sisa pembagiannya tidak tunggal tergantung pada urutan 𝑓1,𝑓2,…,𝑓ð‘. Dikatakan tidak tunggal karena jika sisa pembagiannya nol, tetapi setelah merubah urutan 𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑠akan dihasilkan sisa pembagian yang bukan nol. Oleh karena itu, untuk menyelesaian masalah keanggotaan ideal tersebut, maka harus dicari himpunan pembangun yang lain dari 𝐼 yang disebut basis Gröbner. Basis Gröbner pada 𝐼 adalah himpunan semua polinomial {𝑔1,𝑔2,…,𝑔𝑠} dalam 𝐼 sedemikian sehingga untuk sebarang 𝑓∈𝐼 terdapat 𝐿𝑇(𝑔𝑖) habis membagi 𝐿𝑇(𝑓) dengan 𝑖=1,2,…,ð‘. Dari hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa setiap ideal yang merupakan ideal polinomial dalam 𝐹[𝑋] mempunyai basis Gröbner. Untuk mengetahui apakah suatu basis merupakan basis Gröbner maka digunakan kriteria Buchberger. Sedangkan untuk mendapatkan basis Gröbner dari suatu ideal polinomial digunakan algoritma Buchberger.